三角形の合同条件・相似条件と図形の証明
合同条件・相似条件、二等辺三角形・平行四辺形・直角三角形の条件と、証明の書き方を、押して確かめる道具と練習問題で身につけます。最後に、都立高校入試でどう出るかを正答率つきで載せています。
合同条件と相似条件
三角形の合同条件
- 3 組の辺がそれぞれ等しい
- 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
- 1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
三角形の相似条件
- 3 組の辺の比がすべて等しい
- 2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
- 2 組の角がそれぞれ等しい
説明を読む前に、まず 1 問
△ABC と △DEF で、AB ＝ DE、AC ＝ DF、∠A ＝ ∠D のとき、使える合同条件は？
合同条件チェッカー
問題文で等しいと分かっている辺と角を押すと、使える条件か、何が足りないかを出します。「相似」に切り替えると相似条件で判定します。
2 つの三角形で「等しい」と分かっている部分を押してください。図の線と角も押せます。
合同といえる: 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
∠A は、辺 AB と辺 CA にはさまれた角です。
証明パズル（証明の順に並べる）
証明は、書く順番に型があります。ばらばらになった行を、上から順に押して並べてください。
AB ＝ AC の二等辺三角形 ABC で、辺 BC の中点を M とする。
△ABM ≡ △ACM を証明する。
下の行を、証明の順に押してください。
- （ここに証明が並びます）
合同条件・相似条件の見分け方
| 分かっていること | 合同 | 相似 |
|---|---|---|
| 3 辺 | 長さがそれぞれ等しい | 比がすべて等しい |
| 2 辺と間の角 | 長さと角が等しい | 比と角が等しい |
| 角 | 1 組の辺と両端の角 | 2 組の角だけでよい |
合同は「形も大きさも同じ」、相似は「形が同じ」。だから相似は、角だけで決められます。
相似な三角形の見つけ方（3 つの形）
相似の証明で手が止まるのは、条件を忘れたときより、どの三角形を比べるかが見つからないときです。相似な三角形は、たいてい次の 3 つの形に隠れています。
ピラミッド型
三角形の中に、底辺と平行な線がある。平行線の同位角が等しいので、上の小さい三角形ともとの三角形が「2 組の角」で相似。
砂時計型
平行な 2 本の線分の端を、交わる 2 本の線で結ぶ。対頂角と錯角が等しいので、上下の三角形が「2 組の角」で相似。
共通な角
大小 2 つの三角形が 1 つの角を共有している。もう 1 組、直角や円周角など等しい角を見つければ「2 組の角」で相似。
よくある間違い 4 つ
1頂点の順番をそろえない
△ABC ≡ △DEF と書いたら、A と D、B と E、C と F が対応します。順番がずれると、どの辺が等しいのかが読めない証明になります。
2「間の角」でない角を使う
2 辺と 1 つの角が等しくても、その角が 2 辺にはさまれていなければ合同とはいえません。上のチェッカーで、辺 AB・辺 BC・∠A の 3 つだけを選んだ状態にすると確かめられます。
3根拠を書かずに「等しい」と書く
「AB ＝ AC」だけでなく「仮定から」「共通だから」「対頂角は等しいから」のように、なぜ等しいかを 1 行ずつ添えます。
4相似比をはみ出した部分で作る
DE ∥ BC の図で、相似なのは △ADE と △ABC。比は AD : AB で、AD : DB ではありません。
もっと知りたいとき
- 定義: 2 つの辺が等しい三角形
- 性質（定理）: 底角が等しい。頂角の二等分線は、底辺を垂直に 2 等分する
- 二等辺三角形になる条件: 2 つの角が等しい三角形は、二等辺三角形
- 証明で「二等辺三角形であること」を示すときは、2 つの辺か 2 つの角が等しいことを言います。都立入試では 2021 年度に出ました。
四角形は、次のどれか 1 つが言えれば平行四辺形です。
- 2 組の対辺がそれぞれ平行（定義）
- 2 組の対辺がそれぞれ等しい
- 2 組の対角がそれぞれ等しい
- 対角線がそれぞれの中点で交わる
- 1 組の対辺が平行で、その長さが等しい
5 つ目は「平行」と「等しい」が同じ 1 組の辺についての話です。別の組だと、等脚台形のように平行四辺形でないことがあります。
- 相似: 一方を拡大・縮小すると、もう一方にぴったり重なる 2 つの図形。形が同じで、大きさは違ってよい
- 記号: 相似は「∽」、合同は「≡」。△ABC ∽ △DEF は、A と D、B と E、C と F が対応すると読みます
- 相似比: 対応する辺の長さの比。相似比が a : b なら、面積の比は a² : b²、体積の比は a³ : b³
- 合同は中学 2 年、相似は中学 3 年で習います。合同は「相似比が 1 : 1 の相似」とも言えます。
- 直角三角形は、直角以外の角が 1 組等しければ相似です。直角とあわせて「2 組の角」がそろうからです。
- 四角形は、角がすべて等しくても相似とは限りません。正方形と細長い長方形は、4 つの角がどれも 90° ですが、形が違います。四角形は、角に加えて辺の比もそろって初めて相似です。
直角三角形では、三角形の合同条件に加えて、次の 2 つが使えます。
- 斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい
- 斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい
使う前に「∠C ＝ ∠F ＝ 90°」のように、直角三角形であることを書きます。斜辺は直角の向かい側の、いちばん長い辺です。
練習問題 5 問
1 問ずつ出します。選ぶとその場で丸付けし、間違えたときはその答えになった理由を出します。
0 / 5 正解
問 1 / 5・基本・中2
△ABC と △DEF で、BC ＝ EF、∠B ＝ ∠E、∠C ＝ ∠F のとき、使える合同条件は？
都立高校入試ではこう出る
数学の大問 4 は平面図形です。2019〜2026 年度の 8 年すべてで、問 2 ① が証明（7 点）、問 2 ② が相似を使って長さや面積の比を求める問いでした。証明は相似が 4 回、合同が 3 回、二等辺三角形が 1 回です。
- 2026問 2 ①相似の証明44.8%問 2 ②相似を使って長さを求める7.5%
- 2025問 2 ①合同の証明65.8%問 2 ②相似を使って面積の比を求める3.8%
- 2024問 2 ①相似の証明50.1%問 2 ②相似を使って線分の比を求める6.1%
- 2023問 2 ①相似の証明61.4%問 2 ②相似を使って面積の比を求める1.7%
- 2022問 2 ①合同の証明55.0%問 2 ②相似を使って面積の比を求める2.3%
- 2021問 2 ①二等辺三角形であることの証明32.3%問 2 ②相似を使って面積を求める0.5%
- 2020問 2 ①合同の証明65.7%問 2 ②相似を使って線分の比を求める6.6%
- 2019問 2 ①相似の証明57.5%問 2 ②相似を使って面積の比を求める1.9%
太字が証明の問い（7 点・部分点あり。正答率は報告書の値）。② は 5 点。右の数字と棒は正答率で、東京都教育委員会「東京都立高等学校入学者選抜学力検査結果に関する調査 報告書」（抽出調査）。型はこのサイトが問題を読んで分けたものです。
よくある質問
三角形の合同条件は？
「3 組の辺がそれぞれ等しい」「2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」「1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」の 3 つです。
三角形の相似条件は？
「3 組の辺の比がすべて等しい」「2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」「2 組の角がそれぞれ等しい」の 3 つです。入試の相似の証明でよく使うのは「2 組の角」です。
合同条件と相似条件の違いは？
合同条件の「辺の長さが等しい」が、相似条件では「辺の比が等しい」になります。合同の「1 組の辺とその両端の角」は、相似では「2 組の角」になります。相似は大きさが違ってよいので、角だけで決まります。
相似の記号「∽」の意味は？
2 つの図形が相似であることを表す記号です。△ABC ∽ △DEF と書き、対応する頂点を同じ順に並べます。合同は「≡」です。
合同と相似は何年生で習いますか？
三角形の合同条件と証明は中学 2 年、相似条件と相似比は中学 3 年で習います。
相似な三角形はどう見つけますか？
三角形の中に底辺と平行な線がある「ピラミッド型」、平行な 2 本の線分を交わる線で結ぶ「砂時計型」、1 つの角を共有する「共通な角」の 3 つの形を探します。どれも「2 組の角」で相似を示せます。
直角三角形の合同条件は？
三角形の合同条件に加えて、「斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい」「斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい」の 2 つが使えます。どちらも、直角三角形であることを先に書きます。
平行四辺形になる条件は？
2 組の対辺がそれぞれ平行（定義）、2 組の対辺がそれぞれ等しい、2 組の対角がそれぞれ等しい、対角線がそれぞれの中点で交わる、1 組の対辺が平行でその長さが等しい、の 5 つです。
二等辺三角形の定義と性質の違いは？
定義は「2 つの辺が等しい三角形」。性質（定理）は、定義から導かれる「底角が等しい」「頂角の二等分線は底辺を垂直に 2 等分する」です。逆に、2 つの角が等しい三角形は二等辺三角形になります。
証明の書き方の型は？
①どの三角形を比べるかを書く、②等しいことを根拠つきで 1 行ずつ書く（仮定から・共通・対頂角など）、③条件の名前を書く、④結論を書く、の順です。③の条件の名前は、証明の中でいちばん大事な 1 行です。
都立高校の入試には出ますか？
2019〜2026 年度の 8 年すべてで、大問 4 の問 2 ① に証明（7 点）が出ています。相似の証明が 4 回、合同の証明が 3 回、二等辺三角形であることの証明が 1 回でした。