円錐の体積の求め方
公式、1/3 になる理由、直径や母線しか分からないときの求め方を、計算機と練習問題で確かめます。最後に、都立高校入試でどう出るかを正答率つきで載せています。
公式
体積 ＝ 1/3 × π × 半径² × 高さ
円錐の体積は「底面積 × 高さ」の 1/3。同じ底面と高さの円柱の、ちょうど 3 分の 1 です。
例: 半径 3 cm・高さ 4 cm → 1/3 × π × 3² × 4 ＝ 12π cm³（約 37.68 cm³）
説明を読む前に、まず 1 問
底面の半径が 2 cm、高さが 6 cm の円錐の体積は？
体積の計算機（途中の式つき）
宿題の答え合わせに使えます。半径と直径、高さと母線を切り替えられます。√ や分数が残るときは、その形で出します。
- 底面積 ＝ π × 3² ＝ 9π
- 体積 ＝ 1/3 × 底面積 × 高さ ＝ 1/3 × 9π × 4 ＝ 12π
12π cm³
π を 3.14 とすると、約 37.68 cm³
なぜ 1/3 を掛けるのか
円柱は空です。円錐の容器で水をくんで、注いでみてください。
同じ底面と同じ高さの円柱と円錐を用意して、円錐の容器で水をくんで円柱に入れると、ちょうど 3 杯でいっぱいになります。だから円錐の体積は、円柱の 1/3 です。
角錐でも同じです。立方体は、1 つの頂点を共有する合同な 3 つの四角錐に切り分けられます。1 つ分は立方体の 1/3 で、底面積 × 高さ × 1/3 になっています。
「錐（すい）」は先のとがった形のこと。円錐も角錐も、柱の 1/3 と覚えれば 1 つで済みます。
柱と錐の体積の公式
| 立体 | 体積 | 例 |
|---|---|---|
| 角柱 | 底面積 × 高さ | 底面積 12・高さ 5 → 60 |
| 円柱 | π × 半径² × 高さ | 半径 3・高さ 4 → 36π |
| 角錐 | 1/3 × 底面積 × 高さ | 底面積 12・高さ 5 → 20 |
| 円錐 | 1/3 × π × 半径² × 高さ | 半径 3・高さ 4 → 12π |
| 球 | 4/3 × π × 半径³ | 半径 3 → 36π |
よくある間違い 4 つ
1直径をそのまま半径に使う
「底面の直径 8 cm」なら、半径は 4 cm。底面積は π × 4² ＝ 16π です。直径で計算すると、答えは 4 倍になります。
2母線を高さに使う
母線は頂点から底面のふちまでの斜めの長さ。高さは頂点から底面へまっすぐ下ろした長さです。母線しかないときは、三平方の定理で高さを出します。
31/3 を掛け忘れる
答えがちょうど 3 倍になります。出た答えが、同じ底面と高さの円柱の 1/3 になっているかを確かめてください。
4角錐の「高さ」を側面の三角形で測る
角錐の高さは、頂点から底面に垂直に下ろした長さです。側面の三角形の高さ（斜めの長さ）とは別のものです。
もっと知りたいとき
表面積との違い（体積は高さ、表面積は母線）
同じ円錐でも、体積には高さを、表面積には母線を使います。テストではこの 2 つを続けて聞かれることが多いので、並べて覚えます。
例: 底面の半径 3 cm・母線 5 cm・高さ 4 cm の円錐
- 体積 ＝ 1/3 × π × 3² × 4 ＝ 12π cm³（高さを使う）
- 側面積 ＝ π × 母線 × 半径 ＝ π × 5 × 3 ＝ 15π cm²（母線を使う）
- 底面積 ＝ π × 3² ＝ 9π cm²
- 表面積 ＝ 側面積 ＋ 底面積 ＝ 15π ＋ 9π ＝ 24π cm²
- 展開図のおうぎ形の中心角 ＝ 360° × 半径 ÷ 母線 ＝ 360° × 3 ÷ 5 ＝ 216°
単位も違います。体積は cm³（立方センチメートル）、面積は cm²（平方センチメートル）です。
円錐台の体積（上を切り取った円錐）
円錐を底面に平行に切った下の部分を円錐台といいます。大きい円錐から、切り取った小さい円錐を引きます。2 つの円錐は相似なので、相似比から高さが分かります。
例: 下の底面の半径 6 cm・上の面の半径 3 cm・高さ 4 cm の円錐台
- 半径の比 3 : 6 ＝ 1 : 2 なので、小さい円錐の高さは 4 cm、大きい円錐の高さは 8 cm
- 大きい円錐 ＝ 1/3 × π × 6² × 8 ＝ 96π
- 小さい円錐 ＝ 1/3 × π × 3² × 4 ＝ 12π
- 円錐台 ＝ 96π − 12π ＝ 84π cm³
公式で書くと、円錐台の体積 ＝ 1/3 × π × 高さ × （大きい半径² ＋ 大きい半径 × 小さい半径 ＋ 小さい半径²）。1/3 × π × 4 × (36 ＋ 18 ＋ 9) ＝ 84π で同じ答えになります。中学では引き算で求めるのが基本です。
速く、間違えずに解くコツ
1. 3 で割れる数を先に割る
1/3 は最後に掛けなくてよいです。半径 6・高さ 5 なら、1/3 × 36 ＝ 12 を先に出して 12π × 5 ＝ 60π。大きな数の割り算を避けられます。
2. π は最後まで計算しない
中学の答えは「12π」のように π を残すのが基本です。3.14 を掛けるのは、問題に「円周率を 3.14 とする」と書いてあるときだけです。
3. 相似な立体は「体積比 ＝ 相似比の 3 乗」（中 3）
高さの半分のところで切ると、上の小さい円錐は相似比 1 : 2 なので、体積は 1 : 8。もとの円錐の 1/8 です。円錐台は残りの 7/8 になります。
練習問題 5 問
選ぶとその場で丸付けします。間違えたときは、その答えになった理由を出します。
0 / 5 正解
問 1 / 5・基本・中1
底面の半径が 5 cm、高さが 6 cm の円錐の体積を求めなさい。
都立高校入試ではこう出る
数学の最後の大問 5 は、毎年空間図形です。2019〜2026年度の 8 年すべてで、問 1 か問 2 のどちらかが立体の体積でした。多くは、直方体や三角柱の中にできる四角錐・三角すいの体積です。
- 2026問 1空間の角（中点と平行）34.9%問 2三角すいの体積（分けて求める）2.0%
- 2025問 1直方体の中の四角錐の体積44.0%問 2断面の三角形の面積（三平方）17.8%
- 2024問 1空間の角（二等辺三角形）33.3%問 2三角柱の中の四角錐の体積22.8%
- 2023問 1動く点と最短の長さ12.5%問 2正四面体の中の三角すいの体積3.2%
- 2022問 1動く点と周の長さ（三平方）29.9%問 2直方体の中の四角錐の体積（分けて求める）1.2%
- 2021問 1ねじれの位置にある辺20.2%問 2三角柱の中の四角錐の体積3.6%
- 2020問 1断面の三角形の面積（三平方）38.3%問 2四角柱から四角錐を引いて求める体積2.4%
- 2019問 1線分の長さ（三平方）57.6%問 2三角すいの中の三角すいの体積12.9%
太字が体積を求める問い。配点は各 5 点。右の数字と棒は正答率で、東京都教育委員会「東京都立高等学校入学者選抜学力検査結果に関する調査 報告書」（抽出調査）。型はこのサイトが問題を読んで分けたものです。
2026年度の報告書2025年度の報告書2024年度の報告書2023年度の報告書2022年度の報告書2021年度の報告書2020年度の報告書2019年度の報告書
入試の体積の問題を解く順番
- 求める立体の頂点と底面を、問題文から書き出す
- 底面を、直方体や三角柱の面の上に取れないかを探す（取れれば高さが辺に沿った長さになる）
- 取れないときは、立体を 2 つの錐に分けるか、大きい立体から引く
- 最後に 1/3 を掛ける
よくある質問
円錐の体積の公式は？
体積 ＝ 1/3 × 底面積 × 高さ ＝ 1/3 × π × 半径² × 高さ です。たとえば半径 3 cm、高さ 4 cm なら、1/3 × π × 9 × 4 ＝ 12π cm³ です。
なぜ 1/3 を掛けるのですか？
同じ底面と高さの円柱に、円錐の容器で水を入れると、ちょうど 3 杯でいっぱいになります。角錐なら、立方体を合同な 3 つの四角錐に切り分けられることで確かめられます。
母線の長さしか分からないときは？
頂点・底面の中心・底面のふちで直角三角形ができます。三平方の定理で 高さ ＝ √(母線² − 半径²) を出してから、公式に入れます。母線をそのまま高さに使うのは、よくある間違いです。
円錐の表面積との違いは？
体積は高さを使い、表面積は母線を使います。側面積 ＝ π × 母線 × 半径、表面積 ＝ 側面積 ＋ 底面積 です。半径 3 cm・母線 5 cm なら、側面積 15π cm²、表面積 24π cm² です。
円錐台の体積はどう求めますか？
大きい円錐の体積から、切り取った小さい円錐の体積を引きます。2 つの円錐は相似なので、半径の比から高さを出せます。
円錐の体積を速く求めるコツ（裏ワザ）は？
1/3 を最後に掛けず、3 で割り切れる数（半径² や高さ）を先に 3 で割ることです。半径 6・高さ 5 なら 36 ÷ 3 ＝ 12 を先に出して 12π × 5 ＝ 60π です。
円錐の体積は何年生で習いますか？
中学 1 年の「空間図形」で、柱と錐の体積として習います。母線から高さを出す問題は、三平方の定理を習う中学 3 年で出てきます。
都立高校の入試には出ますか？
2019〜2026 年度の 8 年すべてで、数学の大問 5（空間図形）のどちらかの問いが立体の体積でした。多くは、直方体や三角柱の中にできる四角錐・三角すいの体積です。