直方体と立方体（面・辺・頂点、展開図、辺の位置関係）
面・辺・頂点の数、立方体の展開図 11 種類、辺の平行・垂直・ねじれの位置を、選ぶと色が変わる図で確かめます。体積・表面積・対角線の計算機と、確認テスト 5 問つきです。
早見表（直方体も立方体も同じ）
- 面の数
- 6
- 向かい合う面が 3 組
- 辺の数
- 12
- 同じ向きの辺が 4 本ずつ 3 組
- 頂点の数
- 8
- 上の面に 4、下の面に 4
直方体は長方形（正方形がまじることもある）で囲まれた形、立方体は 6 つとも同じ大きさの正方形で囲まれた形です。立方体は、辺がすべて同じ長さの直方体です。
説明を読む前に、まず 1 問
立方体の頂点はいくつ？
直方体の計算機（体積・表面積・対角線）
宿題の答え合わせに使えます。縦・横・高さを変えると、見取り図がその形に変わります。3 つを同じ数にすると立方体の式に切り替わります。
- 体積
- 36cm³
- 表面積
- 72cm²
- 辺の長さの合計
- 44cm
- 対角線
- 7cm
- 体積 ＝ 縦 × 横 × 高さ ＝ 3 × 6 × 2 ＝ 36
- 表面積 ＝ (縦×横 ＋ 横×高さ ＋ 高さ×縦) × 2 ＝ (18 ＋ 12 ＋ 6) × 2 ＝ 72
- 辺の長さの合計 ＝ (縦 ＋ 横 ＋ 高さ) × 4 ＝ (3 ＋ 6 ＋ 2) × 4 ＝ 44
- 対角線 ＝ √(縦² ＋ 横² ＋ 高さ²) ＝ √(3² ＋ 6² ＋ 2²) ＝ 7（中 3 の三平方の定理）
立方体の展開図は 11 種類
回したり裏返したりして重なるものを同じとみると、立方体の展開図は 11 種類です。選ぶと、組み立てたときに向かい合う面を同じ印で示します。× の 3 つは、よく間違える「組み立てられない形」です。
展開図 1: 立方体になります
同じ印（●・▲・■）の面どうしが、組み立てると向かい合います。同じ印のマスは、展開図で隣り合っていません。
- 向かい合う面: 一直線に 3 枚並んだら、両端が向かい合う。展開図で隣り合う面が向かい合うことはない
- 組み立てられない形: 一直線に 5 枚以上並ぶ、田の字（2 × 2）がある、4 枚並びの同じ側に 2 枚が付く
辺の平行・垂直・ねじれの位置
直方体のどの辺を選んでも、残りの 11 本は平行 3 本・垂直に交わる 4 本・ねじれの位置 4 本に分かれます。小学 4 年では平行と垂直、中学 1 年でねじれの位置を習います。
辺を選ぶ
- 辺 AB と平行な辺: 3 本
- CD・EF・GH同じ向きで、どこまでのばしても交わらない
- 辺 AB と垂直に交わる辺: 4 本
- BC・DA・AE・BF頂点で直角に交わる
- 辺 AB とねじれの位置にある辺: 4 本
- FG・HE・CG・DH平行でもなく、交わりもしない（中 1）
直方体・立方体の公式
例は、縦 3 cm・横 6 cm・高さ 2 cm の直方体です。
| 求めるもの | 直方体 | 立方体 | 例 |
|---|---|---|---|
| 体積 | 縦 × 横 × 高さ | 1 辺 × 1 辺 × 1 辺 | 3 × 6 × 2 ＝ 36 |
| 表面積 | (縦×横 ＋ 横×高さ ＋ 高さ×縦) × 2 | 1 辺 × 1 辺 × 6 | (18 ＋ 12 ＋ 6) × 2 ＝ 72 |
| 辺の長さの合計 | (縦 ＋ 横 ＋ 高さ) × 4 | 1 辺 × 12 | (3 ＋ 6 ＋ 2) × 4 ＝ 44 |
| 対角線（中 3） | √(縦² ＋ 横² ＋ 高さ²) | 1 辺 × √3 | √(9 ＋ 36 ＋ 4) ＝ 7 |
よくある間違い 5 つ
1辺と頂点の数を取り違える
辺は線で 12 本、頂点は角の点で 8 つ。見取り図で見えない辺（点線）を数え忘れると、9 本や 7 つになります。
2平行な辺を 1 本だけ答える
1 本の辺に平行な辺は 3 本あります。同じ面の向かい側だけでなく、斜め向かいの辺も平行です。
3展開図で隣り合う面を、向かい合う面と思う
展開図で辺がつながっている面は、組み立てると隣り合います。向かい合う面は、一直線に 3 枚並んだ両端です。
4表面積で 3 つの面しか足さない
見取り図で見える面は 3 つですが、反対側に同じ大きさの面がもう 1 枚ずつあります。最後に 2 倍します。
5ねじれの位置を「垂直」と答える
交わらない辺は垂直に交わる辺ではありません。平行でもなく交わりもしなければ、ねじれの位置です。
もっと知りたいとき
見取り図のかき方（3 つの決まり）
- 前の面は、長方形をそのままかく
- 奥行きの辺は、同じ向きに平行にかく（平行な辺は、図でも平行）
- 見えない辺は点線でかく。見えない辺は 3 本
面と面、辺と面の位置関係
面と面: 平行 1 つ・垂直 4 つ
面 ABCD に平行な面は、向かい合う面 EFGH だけ。となりの 4 つの面（ABFE・BCGF・CDHG・DAEH）は、面 ABCD に垂直です。
辺と面: 垂直な辺は 4 本
面 EFGH に垂直な辺は AE・BF・CG・DH。この長さが、体積を出すときの「高さ」になります。都立入試の大問 5 で、錐の高さを見つけるときにそのまま使います。
対角線の長さ（三平方の定理を 2 回）
底面の対角線 EG ＝ √(6² ＋ 3²) ＝ √45。AE は底面に垂直なので △AEG は直角三角形で、AG ＝ √(45 ＋ 2²) ＝ 7。
まとめると √(縦² ＋ 横² ＋ 高さ²)。立方体なら 1 辺 × √3 です。
確認テスト 5 問
選ぶとその場で丸付けします。間違えたときは、その答えになった理由を出します。1・2 問目は小学 4 年、3・4 問目は中学 1 年、5 問目は中学 3 年の範囲です。
0 / 5 正解
問 1 / 5・基本・小4
縦 5 cm、横 4 cm、高さ 3 cm の直方体があります。
辺の長さをすべて合わせると何 cm？
都立高校入試ではこう出る
2019〜2026 年度の 8 年で、大問 5（空間図形）の舞台が直方体だった年が 3 回（2020・2022・2025）あります。2021年度の問 1 は、三角柱でねじれの位置にある辺を数える問題でした（正答率 20.2%）。
- 2026問 1空間の角（中点と平行）34.9%問 2三角すいの体積（分けて求める）2.0%
- 2025問 1直方体の中の四角錐の体積44.0%問 2断面の三角形の面積（三平方）17.8%
- 2024問 1空間の角（二等辺三角形）33.3%問 2三角柱の中の四角錐の体積22.8%
- 2023問 1動く点と最短の長さ12.5%問 2正四面体の中の三角すいの体積3.2%
- 2022問 1動く点と周の長さ（三平方）29.9%問 2直方体の中の四角錐の体積（分けて求める）1.2%
- 2021問 1ねじれの位置にある辺20.2%問 2三角柱の中の四角錐の体積3.6%
- 2020問 1断面の三角形の面積（三平方）38.3%問 2四角柱から四角錐を引いて求める体積2.4%
- 2019問 1線分の長さ（三平方）57.6%問 2三角すいの中の三角すいの体積12.9%
太字が直方体を舞台にした問いと、辺の位置関係を問う問い。配点は各 5 点。右の数字と棒は正答率で、東京都教育委員会「東京都立高等学校入学者選抜学力検査結果に関する調査 報告書」（抽出調査）。題材はこのサイトが問題を読んで分けたものです。
2026年度の報告書2025年度の報告書2024年度の報告書2023年度の報告書2022年度の報告書2021年度の報告書2020年度の報告書2019年度の報告書
直方体が出たときの手順
- 見取り図に、分かっている辺の長さをすべて書き込む
- 底面にする面を決め、その面に垂直な辺（底面が EFGH なら AE・BF・CG・DH）を探す。錐の頂点が向かいの面の上にあれば、その長さが高さになる
- 面の上に直角三角形を見つけて、斜めの長さは三平方の定理で出す
- 形が複雑な立体は、大きい柱から外側の錐を引いて求める（2020 年度の問 2 がこの型）
よくある質問
直方体と立方体の面・辺・頂点の数は？
どちらも面 6・辺 12・頂点 8 です。直方体の面は長方形（正方形がまじることもある）、立方体の面は 6 つとも同じ大きさの正方形です。
直方体と立方体のちがいは？
立方体は、12 本の辺がすべて同じ長さの直方体です。直方体の辺は、同じ長さの辺が 4 本ずつ 3 組あります。
立方体の展開図は何種類ありますか？
11 種類です（回したり裏返したりして重なるものは同じとみる）。4 枚並びの上下に 1 枚ずつ付く形が 6 種類、2 枚・3 枚・1 枚の形が 3 種類、階段の形と、3 枚・3 枚の形が 1 種類ずつです。
展開図で向かい合う面の見つけ方は？
一直線に 3 枚並んだら、両端の 2 枚が向かい合います。向かい合う面は、展開図で隣り合うことはありません。
直方体で、1 本の辺に平行な辺は何本？
3 本です。たとえば辺 AB に平行な辺は DC・EF・HG。垂直に交わる辺は 4 本、残りの 4 本はねじれの位置です。
ねじれの位置とは？
平行でもなく、交わりもしない 2 本の直線の位置関係です。中学 1 年で習います。同じ平面の上にない、というのが見分けるポイントです。
直方体の表面積の求め方は？
(縦 × 横 ＋ 横 × 高さ ＋ 高さ × 縦) × 2 です。同じ大きさの面が 2 枚ずつあるので、3 種類の面を足して 2 倍します。立方体なら 1 辺 × 1 辺 × 6 です。
直方体の対角線の長さは？
√(縦² ＋ 横² ＋ 高さ²) です。底面の対角線を三平方の定理で出し、高さとでもう一度三平方の定理を使うと、この式になります（中学 3 年）。
何年生で習いますか？
面・辺・頂点の数、展開図、見取り図、辺や面の平行・垂直は小学 4 年です。体積は小学 5 年、表面積とねじれの位置は中学 1 年、対角線の長さは中学 3 年で出てきます。
都立高校の入試には出ますか？
大問 5（空間図形）の舞台として出ます。2019〜2026 年度の 8 年では、2025・2022・2020 年度が直方体でした。2021 年度の問 1 は、三角柱でねじれの位置にある辺を数える問題です。