都立入試 2024 数学の解説と正答率

大問1

1-1正負の数の計算（累乗を含む）正答率 84.9%

累乗 → かけ算・わり算 → たし算・ひき算の順。かっこが無ければ − は 2 乗の外にあり、−a² と (−a)² は符号が逆になる

1-2文字式の計算（分数でない項がまざる）正答率 68.1%

分数でない項も、分母をそろえて 1 つの分数にまとめる（分数でない項には分母の数を掛ける）。ひく側の分子はかっこごと引き、中の符号を全部変える

1-3平方根の計算（展開）正答率 83.4%

乗法公式 (x ＋ a)(x ＋ b) ＝ x² ＋ (a ＋ b)x ＋ ab で展開し、√ の 2 乗は中身になる。√ の項どうし、整数どうしを分けてまとめる

1-4一次方程式正答率 93.5%

文字の項を左辺、数の項を右辺に集める。移項したら符号を変える。最後に、文字の係数で両辺を割る

1-5連立方程式正答率 86.2%

どちらかの文字の係数を、最小公倍数にそろえて消す。式どうしを引く時は、右辺も引く。求めた値をもとの式に代入して、もう一方を出す

1-6二次方程式（平方根を使う）正答率 60.4%

「（ ）² ＝ 数」の形なら、展開せずに両辺の平方根をとる。± を忘れずに 2 つの場合に分け、それぞれ解く

1-7箱ひげ図の読み取り正答率 89.2%

箱は第 1 四分位数から第 3 四分位数まで（四分位範囲は箱の幅）、ひげの両端は最小値と最大値。最小値・最大値の人は必ずいる。人数が奇数なら、中央値もだれか 1 人の記録そのもの。それ以外の値の人が「いる」「いない」は、箱ひげ図だけでは言い切れない

1-8円周角と角度正答率 52.1%

直径の両端を結ぶ弧は 180°。弧の長さの比から中心角を出し、対頂角などで等しい角を移す。円周角は、同じ弧に対する中心角の半分

1-9作図（角の二等分線）正答率 46.2%

2 つの辺から等しい距離にある点は、その 2 辺がつくる角の二等分線の上にある。角の二等分線と、点が乗る辺との交点を求める

大問2

2-1文字式の利用（図形の面積）正答率 61.1%

平行移動で対応する辺は、平行で長さが等しい。台形の上底・下底・高さを、もとの三角形の長さ（直角をはさむ 2 辺など）で表し、台形の面積（（上底 ＋ 下底）× 高さ ÷ 2）が三角形の面積の何倍かを比べる

2-2文字式の証明正答率 23.9%

比べる 2 つの台形の面積を、それぞれ文字の式に表す。展開・整理して、2 つが同じ式になることを示す

大問3

3-1y = ax² の変域正答率 69.8%

x の変域の両端を代入する。0 をまたぐ時は、最小が 0、最大は 0 から遠い方の端の値になる（y = ax² の係数 a が正の時）。係数が正なら、グラフは上に開く

3-22 点を通る直線の式正答率 64.6%

点の座標が別の点との関係で決まる時は、その関係から座標を先に出す（グラフ上の点は、x 座標を関数の式に代入する）。2 点の座標から傾き（y の増加量 ÷ x の増加量）を出し、1 点を代入して切片を出す

3-3面積の比から座標正答率 8.9%

座標軸に平行な線分を底辺にとると、底辺も高さも座標の差で表せる。面積の関係を、点の座標を文字で置いた方程式にする。解が 2 つ出たら、問題の範囲に合う方を選ぶ

大問4

4-1角度を文字式で正答率 73.2%

数で決まる角を先に埋め、文字は最後まで文字のまま扱う。等しい辺があれば二等辺三角形の底角が等しい。平行線の錯角・同位角は等しい

4-2①相似の証明正答率 50.1%

対応する頂点の順に三角形を書き、等しい角を 2 組そろえる。角を直接結べない時は、間に別の角をはさみ、平行線の同位角・錯角でつなぐ。長方形の向かい合う辺が平行であることがよく使われる

4-2②相似の利用（線分の比）正答率 6.1%

相似な三角形の組を見つけ、対応する辺の順を合わせて比を書く。同じ線分の上の点の位置を、線分全体を 1 とした割合で表してから差をとると、間の長さの比が出る

大問5

5-1空間図形（角度）正答率 33.3%

立体から三角形を 1 つ取り出して考える。二等辺三角形の頂点と底辺の中点を結ぶ線分は、底辺に垂直。柱の側面の辺は底面に垂直で、面に垂直な直線は、その面の上のどの直線とも垂直になる

5-2空間図形（体積）正答率 22.8%

底面と高さを決める。角錐は 底面積 × 高さ × 1/3。頂点が、底面に平行な辺の上を動く時は、高さは変わらない。高さは、柱の底面の三角形で垂線を下ろし、三平方の定理で出す