都立入試 2023 数学の解説と正答率

大問1

1-1正負の数の計算（累乗を含む）正答率 95.1%

累乗 → かけ算・わり算 → たし算・ひき算の順。わり算は、たし算より先に済ませる

1-2文字式の分数計算正答率 77.3%

分母を最小公倍数でそろえ、ひく側の分子はかっこごと引く。かっこを外す時は、中の符号を全部変える

1-3平方根の計算（展開）正答率 73.6%

乗法公式で展開し、√ の 2 乗は中身になる。√ の前の数どうしも掛ける。√ の項どうし、整数どうしを分けてまとめる

1-4一次方程式（かっこを含む）正答率 90.4%

かっこを外してから、文字の項を左辺、数の項を右辺に集める。移項したら符号を変える

1-5連立方程式正答率 87.6%

どちらかの文字の係数をそろえて消す。片方の係数がもう片方の倍数なら、片方の式だけを何倍かすればよい。式どうしを引く時は、右辺も引く

1-6二次方程式正答率 72.2%

整数の範囲で因数分解できない時は、解の公式を使う。a・b・c を符号ごと書き出し、b² − 4ac を先に計算する。x² の係数が 1 でない時は、分母の 2a にも注意

1-7確率（玉）正答率 71.2%

同時に取り出す時は、取り出す順を区別しない組で数える。同じ色の玉にも区別の名前を付けて、すべての組を書き出す。確率 ＝ 条件に合う組の数 ÷ すべての組の数

1-8円周角と角度正答率 66.1%

直径に対する円周角は 90°。同じ弧に対する円周角は等しい。わかる角を図に書き込み、三角形の内角の和で求める

1-9作図（垂線）正答率 54.7%

円周上で直線からいちばん遠い点は、円の中心から直線に引いた垂線の上にある。中心を通る垂線を作図し、円と交わる 2 点のうち直線から遠い方をとる

大問2

2-1文字式の利用（周の長さ）正答率 31.7%

台形の平行でない 2 辺の中点を結ぶ線分は、上底・下底に平行で、長さは 2 つの底の和の半分（対角線を 1 本引けば、中点連結定理で確かめられる）。正方形の 2 本の対角線は長さが等しく、互いの中点で垂直に交わる。選択肢は、具体的な数を入れて確かめられる

2-2文字式の証明正答率 21.9%

中点までの長さは、両端までの長さの平均。おうぎ形の弧の長さは 2 × 半径 × 円周率 × 中心角 / 360、面積は 半径 × 半径 × 円周率 × 中心角 / 360。面積の式は、2 乗どうしの差を和と差の積に因数分解して、結論の形にする

大問3

3-1一次関数のグラフ上の点正答率 73.7%

点が直線の上にあれば、その座標は直線の式を満たす。わかっている方の座標を式に代入して、もう一方を出す

3-22 点を通る直線の式正答率 38.6%

直線と x 軸の交点は、y = 0 を代入して求める。線分が y 軸で二等分される時、両端の x 座標は絶対値が同じで符号が逆。そこから点の座標を出し、2 点を通る直線の式を求める

3-3面積の比から座標正答率 13.8%

座標軸に平行な線分を底辺にとると、底辺も高さも座標の差で表せる。軸に平行な辺が無い三角形は、軸との交点で 2 つの三角形に分けて足す。y 軸について線対称な点は、x 座標の符号だけが変わる。面積の関係を、点の座標を文字で置いた方程式にする

大問4

4-1角度を文字式で正答率 59.8%

数で決まる角を先に埋め、文字は最後まで文字のまま扱う。2 組の向かい合う辺が平行な四角形は平行四辺形で、向かい合う辺の長さが等しい。等しい辺があれば二等辺三角形の底角が等しい。平行な 2 辺の間の、同じ側の内角の和は 180°。最後は三角形の内角の和で求める

4-2①相似の証明正答率 61.4%

対応する頂点の順に三角形を書き、等しい角を 2 組そろえる。平行線の錯角と、対頂角がよく使われる

4-2②相似の利用（面積の比）正答率 1.7%

平行線に切られた線分の比（三角形と比の定理）で、ほかの辺の比を出す。相似な三角形の組から対応する辺の比を出す。高さが共通な三角形は、面積の比が底辺の比になる。台形全体の面積も、同じ三角形を単位にして表してから比べる

大問5

5-1空間図形（動点と長さの最小）正答率 12.5%

動く点の位置は、速さ × 時間 で辺の上の長さとして表す。2 辺とその間の角が等しい三角形を見つけると、2 本の線分の長さが等しいと分かる。点から直線までの長さは、垂線の時に最も短い

5-2空間図形（体積）正答率 3.2%

底面と高さを決める。三角すいは 底面積 × 高さ × 1/3。正四面体の高さは、頂点から底面の中心に下ろした垂線の長さで、三平方の定理で出す。辺の上の点の位置を比で表し、底面積と高さがもとの何倍になるかで体積を出す