都立入試 2022 数学の解説と正答率

大問1

1-1正負の数の計算（累乗を含む）正答率 85.3%

累乗 → かけ算・わり算 → たし算・ひき算の順。分数でわる時は、逆数をかける

1-2文字式の分数計算正答率 70.7%

分母を最小公倍数でそろえ、ひく側の分子はかっこごと引く。かっこを外す時は、中の符号を全部変える

1-3平方根の計算（展開）正答率 78.7%

和の 2 乗の公式 (x ＋ a)² ＝ x² ＋ 2ax ＋ a² で展開する。√ の 2 乗は中身になる。真ん中の項（2 × 前 × 後）を落とさず、整数どうし・√ の項どうしを分けてまとめる

1-4一次方程式（かっこを含む）正答率 87.3%

かっこを外してから、文字の項を左辺、数の項を右辺に集める。移項したら符号を変える

1-5連立方程式（代入法）正答率 88.6%

一方の式が「文字 ＝ 式」の形なら、もう一方の式にそのまま代入して文字を 1 つ消す（代入法）。代入する式はかっこを付けて入れる

1-6二次方程式正答率 58.4%

整数の範囲で因数分解できない時は、解の公式を使う。a・b・c を符号ごと書き出し、b² − 4ac を先に計算する。√ の中を簡単にしたら、分子と分母を同じ数で約分する

1-7度数分布表と中央値正答率 62.6%

人数が奇数なら、中央値はちょうど真ん中の順位の人の値。少ない方から人数を足していき、真ん中の順位が入る値を探す

1-8円周角と角度正答率 45.6%

弧の長さの比は、その弧に対する円周角の比と同じ。同じ弧に対する円周角は等しい。三角形の外角は、となり合わない 2 つの内角の和

1-9作図（垂直二等分線）正答率 37.0%

頂点から向かいの辺に引いた線分が三角形の面積を二等分するのは、その辺の中点を通る時（底辺と高さが等しくなる）。中点は、辺の垂直二等分線を作図して求める

大問2

2-1文字式の利用（位の数）正答率 52.7%

2 桁の数は、10 × 十の位 ＋ 一の位。問題の決まりどおりに、例と同じ手順で 1 つずつ計算する。ひく数が負になることもあるので、かっこを付けて符号を確かめる

2-2文字式の証明（倍数）正答率 40.5%

3 桁の数は、100 × 百の位 ＋ 10 × 十の位 ＋ 一の位。引く式はかっこを付けて引き、符号を変える。差を整理して、示したい数 × (整数の式) の形にくくり出し、かっこの中が整数であることを書く

大問3

3-1y = ax² の変域正答率 67.7%

x の変域の両端を代入する。0 をまたぐ時は、最小が 0、最大は 0 から遠い方の端の値になる（y = ax² の係数が正の時）

3-22 点を通る直線の式正答率 69.4%

グラフ上の点の y 座標は、x 座標を関数の式に代入して出す。2 点の座標から傾き（y の増加量 ÷ x の増加量）を出し、1 点を代入して切片を出す

3-3線分の比から座標正答率 14.7%

点の座標を文字で置き、ほかの点の座標もその文字で表す。直線の上の点は、わかっている座標を直線の式に代入して、もう一方を出す。座標軸に平行な線分の長さは座標の差なので、比の関係を座標の差の比にして方程式を立てる。解が 2 つ出たら、問題の範囲に合う方を選ぶ

大問4

4-1角度を文字式で正答率 62.2%

正三角形の 1 つの角は 60°。数で決まる角を先に埋め、文字は最後まで文字のまま扱う。三角形の内角の和は 180°、外角はとなり合わない 2 つの内角の和

4-2①合同の証明正答率 55.0%

正三角形の辺はすべて等しく、角はすべて 60°。同じ角から共通な部分を引くと、等しい角ができる。合同条件は「1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」などから選ぶ

4-2②相似の利用（面積の比）正答率 2.3%

前の問いで示した合同から、対応する辺が等しいことを使って長さを比で表す。錯角が等しければ 2 直線は平行で、平行線があれば相似な三角形ができる。高さが共通な三角形は、面積の比が底辺の比になる。もとの三角形の面積を 1 として、何倍かを順に表す

大問5

5-1空間図形（周の長さ）正答率 29.9%

動く点の位置は、速さ × 時間 で辺の上の長さとして表す。中点は辺の長さの半分。空間の線分は、真上・真下に点をそろえて直角三角形を作り、三平方の定理で長さを出す

5-2空間図形（体積）正答率 1.2%

底面が斜めで面積を出しにくい時は、立体を三角すいに分ける。分ける時は、どの三角すいも底面が直方体の面の上に乗るように、分け方を選ぶ。三角すいは 底面積 × 高さ × 1/3。高さは直方体の辺の長さになる