都立入試 2021 数学の解説と正答率

大問1

1-1正負の数の計算（累乗を含む）正答率 88.3%

累乗 → かけ算・わり算 → たし算・ひき算の順。かっこが無ければ − は 2 乗の外にあり、−a² と (−a)² は符号が逆になる

1-2文字式の分数計算正答率 62.0%

分母を最小公倍数でそろえ、ひく側の分子はかっこごと引く。かっこを外す時は、中の符号を全部変える

1-3平方根の計算（乗法・除法）正答率 55.3%

わり算は分数の形にして、かけ算と一緒に 1 つの √ にまとめる。√ の中はできるだけ小さくする。分母に √ が残ったら、分母と分子に同じ √ をかけて有理化する

1-4一次方程式（かっこを含む）正答率 84.6%

かっこを外してから、文字の項を左辺、数の項を右辺に集める。移項したら符号を変える

1-5連立方程式正答率 87.7%

どちらかの文字の係数をそろえて消す。係数が違う時は、片方の式を何倍かしてそろえてから、足すか引く。求めた値をもとの式に代入して、もう一方を出す

1-6二次方程式（平方根を使う）正答率 54.8%

「（ ）² ＝ 数」の形なら、展開せずに両辺の平方根をとる。± を忘れずに、かっこの中の数を移項して 2 つの解を書く

1-7y = ax² の変域正答率 56.2%

x の変域の両端を代入する。0 をまたぐ時は、x = 0 の時の y = 0 も候補に入れる。係数が負ならグラフは下に開き、最大が 0、最小は 0 から遠い方の端の値になる

1-8確率（さいころ 2 つ）正答率 46.6%

2 つのさいころの目の出方は 6 × 6 ＝ 36 通り。縦と横に目を並べた表を書き、条件に合うマスを数える。等号を含むかどうか（以上・より大きい）を確かめる

1-9作図（角の二等分線）正答率 59.1%

2 本の直線から等しい距離にある点は、その 2 直線がつくる角の二等分線の上にある。3 本の直線なら、角の二等分線を 2 本作図して、その交点をとる。どの側の角を二等分するかは、点がある側で決める

大問2

2-1文字式の利用（図形の面積）正答率 37.8%

色のついた部分は、正方形から中の図形を除いた残り。各辺の中点を結んだ四角形の面積はもとの正方形の半分なので、残りも半分になる。タイル 1 枚ずつで考える方法と、全体を 1 つの大きな正方形と見る方法がある。縦と横に同じ枚数ずつ並べた全体の 1 辺は、タイルの 1 辺 × 枚数

2-2文字式の証明（図形の面積）正答率 14.4%

円の半径は、接している正方形の 1 辺の半分。正方形の面積から円の面積を引く。並べ方が 2 通りある時は、それぞれを同じ文字の式に表し、整理して同じ式になることを示す

大問3

3-1一次関数のグラフ上の点正答率 88.7%

点が直線の上にあれば、その座標は直線の式を満たす。わかっている方の座標を式に代入して、もう一方を出す

3-22 点を通る直線の式正答率 65.9%

まず、点の座標を直線の式に代入して求める。2 点の座標から傾き（y の増加量 ÷ x の増加量）を出し、1 点を代入して切片を出す

3-3面積の関係から座標正答率 9.3%

x 軸について線対称な点は、y 座標の符号だけが変わる。点の座標を文字で置き、座標軸に平行な線分を底辺にとって面積を表す。軸に平行な辺が無い三角形は、軸との交点で分けて足す。面積の関係を方程式にし、範囲に合う解を選ぶ

大問4

4-1角度を文字式で正答率 64.8%

長方形の対角線は、4 つの頂点を通る円の直径になる。直径に対する円周角は 90°。同じ弧に対する円周角は等しい。数で決まる角を先に埋め、文字は最後まで文字のまま扱う

4-2①二等辺三角形の証明正答率 32.3%

2 つの角が等しいことを示せば、二等辺三角形といえる。等しい辺があれば、その二等辺三角形の底角が等しい。平行線の錯角、対頂角を使って等しい角をつなぐ

4-2②相似の利用（面積）正答率 0.5%

直径が見えたら、直径に対する円周角が 90° の直角三角形に注目する。直角三角形では三平方の定理。わからない長さを文字で置いて方程式にする。相似な三角形から線分の比を出し、底辺と高さを求めて面積を出す

大問5

5-1空間図形（ねじれの位置）正答率 20.2%

ねじれの位置は、平行でなく、交わりもしない辺。その直線と同じ面の上にある辺は、線分どうしが交わって見えなくても、のばせば交わるか平行なので除く。交わる辺・平行な辺・同じ面の上の辺を除いて、残りを数える

5-2空間図形（体積）正答率 3.6%

底面にする面を決める。底面の四角形は、向かい合う 2 辺が平行で長さが等しければ平行四辺形で、面積は 底辺 × 高さ。頂点が、底面と平行な辺の上にある時は、高さはその辺のどこから測っても同じ。直角三角形の直角の頂点から斜辺への垂線の長さは、面積を 2 通りに表して出す。角すいは 底面積 × 高さ × 1/3